1. ročník
Sústavy lineárnych rovníc (dvoch alebo troch)
riešte výpočtom - akoukoľvek metódou
1. 2x + 7y - 18 = 4(x + y); 5x - 4y - 13 = 2(x - y); 15; 16
2. 2,3x - 3,2y = -4,1; 4x + 6,3y = 16,6; 1; 2
3. -(2x + 1) - (x - y) = 3x + y + 5; x + 2y = 1/2(y + 2x) -1,5; -1; -1
4. 2(x + y - 1) + 1 = 5y + 4; -(x + 3y) + 8 = -3(x - 3); nemá riešenie
5. (x -3) / 2 + (y - 4) / 3 = 2; (5x - 7) / 6 - (4y + 2) / 15 = 1; 5; 7
6. 3y / 2 - 1/3 (4x + 1) = 5 - 1/6 (2y - x); (x + 6) / 18 - (3x - 16) / 14 = 1/63 (30y - x); 7; 1
7. (x - 3) / (y + 2) = 2 / 3; (x + 1) / (x - 2) = 3 / 2; 11, 10
8. x + y + z = 4; 3x - 5y + 3y = 1; 2x + 7y - z = 8; 1; 1; 1
9. x + 2y + 3z = 1; x - y + Z = 1; x+ y - 2z = 1; 1; 0; 0
10. x + y - 2z = 0; x - y -8z = 0; 3x + 5y + 4z = 4; 5; -3; 1
11. x + 2y + x = 4; 3x - 5y + 3z = 1; 2x - 7y - z = 8; 1; 1; 1
12. x + 2y + 3z = 14; 3x + 2y + z = 10; 3x + y 2z = 11; 1; 2; 3
13. (3x 4) : (3y + 4) = 1 : 2; (2x - y) : (2x + y) = 1 : 4; 5; 6
14. 2x + 1 1/3 y = 1 1/12; x + 2/3y = 1; nemá riešenie
15. 3(x + y) = (8 - y) . 1 1/2; 4 - x = 3/2 y; nekonečne veľa riešení
16. 1/3 ( x + 2) + 1/5 (y - 1) = 2; x + 3y / 5 = 4; nemá riešenie
17. 2x + 1/2 y = 20; 3x + 1/3 y= 30; 10; 0
18. 1/5 (7 + x) - 1/4 (2x - y) = 2 - 5y; 1/2 (5y - 4) + 1/3 (4x - 7) = 3x - 1; -2; 0
riešte graficky
1. x + y = 5; 2x - y = 1; 7; -1
2. 9y - 4x = 4; 3y = 4x; 1/2; 2/3
3. x + y = 4; x + 3y = 6; 3; 1
4. 2x - y = -1; 2y = -6; -2; -3
5. 2x - y = 4; x - 1/2y = 0; nemá riešenie
6. x + y = 7; x - y = 1; 7; 3
7. x + 2y = 6; 3x - y = 4; 2; 2
Slovné úlohy riešené pomocou sústavy lineárnych rovníc
1. Kvalifikovaný robotník zarobí týždenne o 30€ viac než nekvalifikovaný. Mzda kvalifikovaného robotníka bola za 5 týždňov o 150€ menšia ako nekvalifikovaného za 10 týždňov. Koľko zarobí týždenne každý z nich? 90; 60
2. V ovocnej záhrade bolo jabloní o 46 viac ako hrušiek. Búrka vyvrátila štvrtimu jabloní a 7 hrušiek; ostalo však ešte 80 stromov. Koľko jabloní a koľko hrušiek bolo v záhrade? 76; 30
3. Ak zväčšíme šírku obdĺžnika o 1/2 cm a dĺžku o 1 cm, zväčší sa jeho obsah o 6 1/4 cm2; ak zväčšíme šírku o 1 cm a dĺžku o 1/2 cm, zväčší sa jeho obsah o 6 3/4 cm2. Aké sú rozmery obdĺžnika? 4 1/2; 3 1/2
4. Ak zmenšíme základňu trojuholníka o 4 cm a výšku o 3 cm, zmenší sa jeho obsah o 44 cm2. Ak zmenšíme základňu o 2 cm a výšku o 1 cm, zmenší sa obsah o 19 cm2. Aký je jeho obsah? 100
5. Žiaci OA boli na praxi v podniku. Rozdelili ich do dvoch skupín. Skupina A mala o 2 žiakov viac než skupina B. Keby sa počet žiakov skupiny B zväčšil o jednu tretinu, a skupina A mala o 7 žiakov viac, mali by obe skupiny rovnaký počet žiakov. Koľko bolo žiakov v každej skupine? 29; 27
6. Chlapec povedal: Mám toľko bratov ako sestier. Jeho sestra povedala: Mám trikrát toľko bratov ako sestier. Koľko bolo synov a koľko dcér v tejto rodine? 3; 2
7. Zásoba múky v školskej jedálni sa vyčerpá o 4 dni skôr, ak sa zvýši počet stravníkov o 40, ale vystačí o 6 dní dlhšie, ak sa počet stravníkov zníži o 40. Koľko je stravníkov? 200
8. Máme dve dvojciferné čísla; druhé dvojciferné číslo dostaneme premiestnením číslic prvého čísla. Keď delíme väčšie číslo menším, dostaneme podiel 3 a zvyšok 5. Ktoré sú to čísla, keď súčet číslic obidvoch čísel je 11? 92; 29
9. V spoločnom kravíne PDje 124 kusov dobytka - kráv a teliec. Pre kravy je určených 7 stajní, pre teľce 2 stajne. V každej stajni pre kravy je rovnaký počet kusov a v každej stajni pre teľce je o 8 kusov viac ako v stajni pre kravy. Koľko kráv a koľko teliec je v kravíne? 84; 40
10. V dvoch miešacích kadiach je surovina. Ak prečerpáme z prvej kade do druhej 8 dávok, bude v každej kadi rovnaké množstvo. Ak prečerpáme z druhej kade do prvej 3 dávky, bude v prvej kadi dvakrát toľko ako v druhej. Koľko dávok suroviny bolo v každej kadi? 41,25
11. Pokladník vydal 10 200 € v bankovkách po 20 € a po 50 €. Koľko bolo každých bankoviek, ak ich spolu bolo 210? 10; 200
12. Úroky z 100 000 € sú ročne 3 250 €. Jedna časť vkladu sa úrokovala 3% sadzbou, druhá 3,5% sadzbou. Aké boli jednotlivé vklady? 50 000; 50 000
13. Topánky stáli trikrát toľko ako prezúvky. Keby boli topánky o 4,20 € lacnejšie, boli by dvakrát drahšie ako prezúvky. Koľko stáli topánky a koľko prezúvky? 12,60; 4,20
14. V obchode bolo trikrát viac litrových krabíc mlieka ako pollitrových. Keď predali 10 litrových a 10 pollitrových krabíc, zostalo štyrikrát viac litrových ako pollitrových krabíc. Koľko ktorých krabíc bolo pôvodne? 30; 90
15. V hľadisku divadla je 60svietidiel dvojakého druhu. Svietenie každým menším stojí za večer 0,32 €, svietenie väčším 0,80 €. Osvetlenie za večer stojí spolu 36 €. Koľko je väčších a koľko menších svietidiel? 25; 35
16. Obsah obdĺžnika je 375 cm2. Jeho šírka je 60% dĺžky. Vypočítajte strany obdĺžnika. 25; 15
slovné úlohy na spoločnú prácu
1. Prvým čerpadlom sa nádrž naplní za 4 zmeny, druhým za 3 zmeny. Za koľko zmien sa nádrž naplní, ak budú pracovať obidve čerpadlá naraz? 12/7
2. Robotník A nasolil za hodinu mäso s určitou hmotnosťou, druhý robotník za ten istý čas nasolil o 15 kg viac. Keď pracovali spoločne, za hodinu nasolili 325 kg mäsa. ko+ko mäsa nasolil za teto čas každý robotník? 155; 170
3. Do nádrže priteká voda kohútikom, ktorým sa naplní za 36 minút. V nádrži je odtokový otvor, ktorým sa nádrž vyprázdni za 40 minút. Za aký čas sa nádrž naplní, keď bude voda súčasne pritekať a odtekať? 360 minút
4. Továreň A vybaví objednávku za 9 mesiacov, továreň B za 6 mesiacov. Keby pracovali spoločne s továrňou C, vybavili by objednávku za 2 mesiace. Za koľko mesiacov by vybavila objednávku továreň C sama? 4,5
5.
slovné úlohy na zmesi
1. Z 80% a 60% liehu máme vytvoriť 250 g 70% liehu. Vypočítajte hmotnosť obidvoch zložiek (ide o precentá hmotnosti) 125; 125
2. K 5 litrom vody s teplotou 90 0C sme priliali 10 litrov vody s neznámou teplotou. Zmes mala teplotu 40 0C. Vypočítajte teplotu priliatej vody. 15
3. 1 kg cukríkov druhu A stojí 7 €, 1 kg cukríkov druhu B stojí 9 €. Treba namiešať 20 kg zmesi po 7,5 € za kg. Vypočítajte hmotnosť druhu A a druhu B v zmesi. 15; 5
4.
slovné úlohy na pohyb
Slovné úlohy riešené pomocou lineárnej rovnice s jednou neznámou
1. Myslím si číslo. Ak k nemu pripočítam číslo 3 a súčet vydelím mysleným číslom, dostanem číslo 2. Ktoré číslo som si myslela?
2. Piatim úspešným riešiteľom olympiády máme rozdeliť čiastku 1200 € tak, aby druhý a každý nasledujúci dostal o 50 € menej ako predchádzajúci. Koľko € dostal každý?
3. Tri pracovníčky v záhradníctve vysadili za jeden deň 3555 sadeníc. Prvá splnila normu, druhá ju prekročila o 120 sadeníc a tretia o 135 sadeníc. Aká bola denná norma?
4. Rozdiel päťnásobku a trojnásobku čísla, ktoré si myslím, je o 3 väčší než toto číslo. Aké číslo si myslím?
5. Nájdite číslo, ktorého pätina zväčšená o 8 sa rovná 12.
6. Určite číslo, ktorého ¾ sú o 2 menšie než 2/5 jeho dvojnásobku.
7. Janík na otázku, koľko má rokov, odpovedal: O 12rokov budem mať štyrikrát toľko rokov, ako som mal pred 12 rokmi. Koľko rokov má Janko?
8. Otec povedal: Mám 40 rokov. Jeden syn má 16 rokov, druhý 3. O koľko rokov budú mať moji synovia spolu toľko rokov ako mám ja teraz?
9. Otec mal pred 8 rokmi štyrikrát toľko rokov, ako je jedna pätina jeho veku teraz. Koľko má rokov?
10. V sade je 600 kríkov ríbezlí. Prvý deň vysadili dve pätiny, druhý tri osminy z celkového počtu kríkov. Koľko kríkov majú ešte vysadiť?
11. 4 kamaráti dostali za zber papiera peniaze takto: Mirko dostal štvrtinu z celej sumy, Robo dostal tretinu zo zvyšku peňazí, Boris dostal polovicu z druhého zvyšku peňazí. Petrovi zostalo 16 €. Koľko € dostal Mirko a Robo spolu?
12. Syn váži 15 kg. To je o 8 kg menej ako ¼ váhy otca. Koľko kg váži otec?
13. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 32cm. Základňa je o 2 cm dlhšia ako rameno. Vypočítajte veľkosti strán trojuholníka aj jeho obsah.
14. Kráľ prijal do služby pastiera na 1 rok. Za službu mu sľúbil vyplatiť 120 grošov a plášť. Pastier však v službe vydržal len 7 mesiacov.
Spravodlivý kráľ mu vyplatil za službu 50 grošov a plášť. Akú cenu mal plášť?15. Dĺžka obdĺžnika je o 12 cm väčšia ako 3-násobok jeho šírky. Aké rozmery a obsah má tento obdĺžnik, ak jeho obvod je 104 cm?
16. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého obvod sa rovná obvodu štvorca so stranou 3,52 dm.
17. V trojuholníku ABC je vnútorný uhol pri vrchole B o 10°väčší ako uhol pri vrchole A a uhol pri vrchole C je trikrát väčší ako uhol pri vrchole B. Určite veľkosti týchto uhlov.
18. Vodácky oddiel má 90 členov. Starších dorastencov je v oddiele 4-krát toľko ako mladších dorastencov. Zato starších žiakov je v oddiele o 10 viac ako všetkých dorastencov. Koľko je v oddiele starších a mladších dorastencov a koľko je starších žiakov?
19. Ročná odmena dvoch pracovníkov bola spolu 18750€. Odmena jedného z nich za 6 mesiacov bola taká, ako druhého za rok. Aká veľká bola ročná odmena každého z nich?
20. Pätnásť žiakov malo priemerný vek 12 rokov. Keď za nimi prišla triedna učiteľka, ich priemer vzrástol presne o rok. Koľko rokov mala učiteľka?
Okruhy otázok na 2. písomnú prácu:
1. Výroky - negácia (budú aj s kvantifikátorom), konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia dvoch výrokov
2. Zistiť, či je zložený výrok tautológia, kontradikcia... (pomocou tabuľky)
3. Prienik a zjednotenie intervalov - uviesť výsledok aj ako množinu, aj interval, aj nnakresliť na číselnej osi (doneste si farebné ceruzky)
4. Určiť definičný obor funkcie
5. Dokázať rast alebo klesanie funkcie, párnosť alebo nepárnosť funkcie - výpočtom! nie odhadnúť výsledok
6. Riešiť lineárnu rovnicu
7. Graf lineárnej funkcie s absolútnou hodnotou
8. Lineárna nerovnica s absolútnou hodnoto:
9. Lineárna rovnica s absolútnou hodnotou
Rozcvičovacia písomka:
1. Vytvorte z daných výrokov negácie, určte pravdivostnú hodnotu výroku A, vytvorte konjunkciu a ekvivalenciu.
A: Janko má v peňaženke najmenej 25 €,
B: 17 - 6 = 502. Zistite pomocou tabuľky, či je daný zložený výrok tautológiou (A ⇒ B´) ⇔ (A alebo B)
3. Vytvorte prienik a zjednotenie intervalov - uviesť výsledok aj ako množinu, aj interval, aj nnakresliť na číselnej osi: A = (-5 ; 3); B = <-6 ; 4>
4. Určte definičný obor funkcií: f: y = (2x + 1O) / (x - 4); g: y = druhá odmocnina z (4x + 11) - nepodarilo sa mi napísať znak pre druhú odmocninu
5.Dokážte výpočtom rast alebo klesanie funkcie f: y = (12 - 3x) / 4
6. Riešte v Z lineárnu rovnicu: (x - 3) / 2 - (13 - x) / 4 = (x - 9) / 6 + 2
7. Načrtnite grafy fukcií: f: y = -0,4 | x | + 1; g: y = | x - 2 | - 5
8. Riešte v R: | x - 0,1 | + 2x < 9
9. Riešte v R: 2.| x - 3 | - | x 4| = 2x + 1